0 1 2
二進法 1
六進法 1
八進法 1
十二進法 1
十六進法 1
十八進法 1
二十進法 1
ローマ数字 I
漢数字
大字
算木 Counting rod v1.png
「一」の筆順

1、いち、ひと、ひとつ)は、最小の整数である。0自然数に含めない流儀では、最小の自然数とも言える。整数の通常の順序において、0 の次で 2 の前の整数である。1 はまた、実数位取り記数法で記述するための数字の一つでもある。

」を意味する 0 に対して、1 は存在を示す最原初的な記号なので、物事を測る基準単位、つまり順序を数える際の初めである。英語序数詞では、1stfirst となる。ラテン語では unus(ウーヌス)で、接頭辞 uni- はこれに由来する。

数としての1

0 を除いて最小の自然数であり、自然数のうちで最小の奇数でもある。任意の数 x に 1 を掛けても x のままであるので、1 は乗法に関する単位元と呼ばれる。

この性質より、1 は 1 自身の階乗であり、

自乗であり、より一般の累乗でもある。

0 以外の任意の数の0乗は 1 である。

多くの場合、0の階乗や0の0乗は規約により 1 とされる。

数字としての1

1 を表す数字の字形の変遷
ヴェネツィアの時計台の24時間計。1の代わりに大文字の J を用いている。

西洋で今日 1 を表す数字の字形は垂直に立った棒であるが、単なる線と区別するために、しばしば上部にひげ飾りが付けられたり、下部に水平の短い線が付けられたりする。アラビア数字インドに起源を持ち、古くは漢字の「一」のように水平の線で 1 を表していた。グプタ文字ではやや丸まった線になり、デーヴァナーガリーではときに左端に小さな黒丸が付された。これが90度回転して 9 に似た字形になり、グジャラート語パンジャーブ語の文字で現在用いられる字形になった。ネパール語でも回転した字形を用いるが、黒丸が残っている[1]。この黒丸が上部のひげ飾りになった一方、下部の短い水平の線はローマ数字の I からきたものと考えられる。ドイツなどのいくつかのヨーロッパの国では、1 のひげ飾りを比較的長く書くため、他国での 7 の字形に近くなって誤解を生じやすい。そのような国では、7 を書くときに垂直の線に水平の線を入れて区別する。

現代のほとんどの欧文の書体において、1 は h と同じ高さであるが、古典的な書体の中には TextFigs148.svg のように x と同じ高さであるものもある。古いタイプライタには 1 のキーが無いものがあり、代わりに小文字の l を用いた。装飾の目的のため、1 の代わりに大文字の J を用いる例も見られる。

数学的性質

  • 1 はちょうど1個の正の整数で割り切れる唯一の正整数である(素数はちょうど2つの正の整数で割り切れ、合成数は3個以上の整数で割り切れ、0 はすべての整数で割り切れる。)
  • 実数複素数における乗算単位元である。
  • 乗算と除算においては、1 を乗数や除数とする演算の積や商は、被乗数や被除数と同じ数になる。
  • 累乗では、指数が 0 の場合、値は必ず 1 となる。
  • 過去には、素数の定義として「1 と自分自身で割り切れる整数」を採用することにより、1 を素数と見なす数学者もいた。1 を素数と公言した最後の数学の専門家は、1899年アンリ・ルベーグである。現代では、1 は素数でも合成数でもなく、−1 やガウス整数における i および −i などと同じく単数であるとされる。算術の基本定理によれば、単数の違いを違いと見なさなければ、素因数分解は一意である(例えば 2 = 21 = 13 × (−1)2 × 21 だが、この2つの分解は同じと見なす)。
  • 位取り記数法の底に用いることができない。画線法は底 1 の記数法(一進法)と言われることがあるが、これは位取り記数法ではない。
  • 関数 1x は常に 1 に等しく逆関数を持たないため、底 1 の対数は定義しない。
  • あらゆる種類の図形数、例えば三角数三角錐数五角数六角数中心つき六角数の最初の数である。
  • 1 = 11 = 12 = 13 = 14
    • なんらかの累乗数の最初の数である。
      • 次の数については後術を参照。
      • nn で表される最小の数である。次は4
      • nnn で表される最小の数である。次は16
  • 最小のカタラン数である。次は2。
  • 最小の高度トーティエント数である。次は2。また、奇数の中では唯一ノントーティエントではない。
  • 1 = 21 − 1
  • 12 + 1 = 2 であり、n2 + 1 の形で素数を生む最小の数である。次は2
  • 1! + 1 = 2 であり、n! + 1 の形で素数を生む最小の数である(0! の時も実際の値は同じである)。次は2
  • フィボナッチ数列の最初の数かつ2番目の数でもあり、その他の多くの整数列の最初の数である。フィボナッチ数列の次の数は 2 。整数列を集めたニール・スローンの最初の本 Handbook of Integer Sequences では、1 で始まらない数列にも慣習として最初に 1 を加え、その 1 は数列を順序付ける辞書式順序の考慮外とした。改訂版の Encyclopedia of Integer Sequences およびウェブ上の後継であるオンライン整数列大辞典では、数列の最初に並んだ 0 や 1 は辞書式順序の考慮外となっている。
  • 最小のベル数である。次は2。
  • 交互階乗の最小の数かつ2番目の数でもあり、2番目の場合、2! − 1! = 2 − 1 である。次は5
  • 単位ベクトルの長さであり、単位行列行列式である。
  • 確率論において、確率最大値であり、必ず起こる事象の確率である。
  • 統計学において、相関係数は −1 から 1 の間の値を取り、1 に近いほど正の相関が強い。
  • 自然数を定式化する方法によって、1 は異なる表現を持つ。
  • ペアノの公理では、1 は 0 の後者である。すなわち、1 = {0} = {Ø} である(Ø は空集合)。
  • プリンキピア・マテマティカでは、1 は単集合(1つの元のみを持つ集合)全ての集合と定義される。
  • 古代エジプトでは、2/33/4 は別格として、一般の分数を、分子が 1 で分母が異なるいくつかの分数の和として表した。例えば、2/5 = 1/3 + 1/15 などである。分子が 1 の分数、あるいはそれらの和で表す形式は、単位分数またはエジプト式分数と呼ばれる。
  • 全ての項が 1 である数列の母関数は次で与えられる。
この級数は、|x| < 1 のときに限り収束する。
  • 自然界に出現する数値や2の冪などの数学的対象の多くはベンフォードの法則に従い、1 で始まるものが最多で全体の約30 %を占める。
  • 最小のリュカ数である。次は3。また、初項2の後者である。
  • 1 = 1!
    • 最小の階乗数である。次は2。
    • n! が n 桁となる数である。他には 222324 しかない。
  • 級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ は 1 に収束する。
  • 約数の和が 1 になる数は1個ある (1) 。約数の和1個で表せる最小の数である。次は3
    • 約数の和が奇数になる最小の奇数である。次は3
    • 倍積完全数の約数の和としては最小の数である。次は12
    • 約数の和 n 個で表せる n 番目の数である。次は18
    • 約数の和の個数別の最小でいうと、これも最小にあたる(1個)。次は12(2個)。
  • 連続してある数に対して約数の和を求めていった場合1個の数が 1 になる。その最小の数。次は4(2個)。いいかえると を満たす n が1個あるということである。(ただし σ は約数関数)(オンライン整数列大辞典の数列 A241954)
  • 九九においては、1 の段で 1 × 1 = 1(いんいちがいち)と表し方が 1 通りしかない。九九で表し方が 1 通りのしかない数は他に 25, 49, 64, 81 があり、計5つである。
  • 各位の和が 1 となるハーシャッド数100 までに3個、1000 までに4個、10000 までに5個ある。
    • 各位の和が 1 となる数は、全てハーシャッド数。そのような数は、十進法では他に 39 しかない。
  • 最小のハーシャッド数である。次は2。
    • 1 を基とする最小のハーシャッド数である。次は10
    • n を基とする n 番目のハーシャッド数である。次は20
    • 各位の和(数字和)が n となる n 番目の数。次は11
    • 平方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は4
    • 立方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は 8
    • 三角数がハーシャッド数になる最小の数である。次は 3
    • フィボナッチ数がハーシャッド数になる最小の数である。次は2
  • 各位の積が 1 になる最小の数である。次は11。(オンライン整数列大辞典の数列 A000042)
  • 最小のカプレカ数(第1定義)。次は9
  • 1 の約数の個数は1個になり 1 の1倍になる。1~n までの約数の個数が n の整数倍になる最小の数である。次は
    乗法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
    1 × x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1,000
    除法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    1/x 1 0.5 0.3 0.25 0.2 0.16 0.142857 0.125 0.1 0.1 0.09 0.083 0.076923 0.0714285 0.06 0.0625
    x/1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    冪乗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
    1x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

抽象代数

抽象代数学では、乗法モノイド単位元1 で表すことがあるが、eドイツ語の Einheit に由来する)で表す方がより伝統的である。整数に限らない一般のにおいて、乗法における単位元を 1 で表し、加法における単位元を 0 で表すことは一般的である。1 を n 回足して 0 になるとき、その環の標数n であるという。通常の整数では 1 を何度繰り返し足しても 0 にはならないため、そのような環の標数は 0 と定める。例えば標数 2 のは、符号理論などに応用を持つ。通常の体の定義は、1 と 0 が等しくないことを要求するので、標数 1 の体は存在しないが、一元体という概念はある。ただし、それは単集合ではない。

その他 1 に関すること