0 1 2
二進法 1
六進法 1
八進法 1
十二進法 1
十六進法 1
十八進法 1
二十進法 1
ローマ数字 I
漢数字
大字
算木 Counting rod v1.png
「一」の筆順

1、いち、ひと、ひとつ)は、最小の整数である。0自然数に含めない流儀では、最小の自然数とも言える。整数の通常の順序において、0 の次で 2 の前の整数である。1 はまた、実数位取り記数法で記述するための数字の一つでもある。

」を意味する 0 に対して、1 は存在を示す最原初的な記号なので、物事を測る基準単位、つまり順序を数える際の初めである。英語序数詞では、1stfirst となる。ラテン語では unus(ウーヌス)で、接頭辞 uni- はこれに由来する。

数としての1

0 を除いて最小の自然数であり、自然数のうちで最小の奇数でもある。任意の数 x に 1 を掛けても x のままであるので、1 は乗法に関する単位元と呼ばれる。

この性質より、1 は 1 自身の階乗であり、

自乗であり、より一般の累乗でもある。

0 以外の任意の数の0乗は 1 である。

多くの場合、0の階乗や0の0乗は規約により1とされる。

数字としての1

1 を表す数字の字形の変遷
ヴェネツィアの時計台の24時間計。1の代わりに大文字の J を用いている。

西洋で今日 1 を表す数字の字形は垂直に立った棒であるが、単なる線と区別するために、しばしば上部にひげ飾りが付けられたり、下部に水平の短い線が付けられたりする。アラビア数字インドに起源を持ち、古くは漢字の「一」のように水平の線で 1 を表していた。グプタ文字ではやや丸まった線になり、デーヴァナーガリーではときに左端に小さな黒丸が付された。これが90度回転して 9 に似た字形になり、グジャラート語パンジャーブ語の文字で現在用いられる字形になった。ネパール語でも回転した字形を用いるが、黒丸が残っている[1]。この黒丸が上部のひげ飾りになった一方、下部の短い水平の線はローマ数字の I からきたものと考えられる。ドイツなどのいくつかのヨーロッパの国では、1 のひげ飾りを比較的長く書くため、他国での 7 の字形に近くなって誤解を生じやすい。そのような国では、7 を書くときに垂直の線に水平の線を入れて区別する。

現代のほとんどの欧文の書体において、1 は h と同じ高さであるが、古典的な書体の中には TextFigs148.svg のように x と同じ高さであるものもある。古いタイプライタには 1 のキーが無いものがあり、代わりに小文字の l を用いた。装飾の目的のため、1 の代わりに大文字の J を用いる例も見られる。

数学的性質

この級数は、|x| < 1 のときに限り収束する。
  • 自然界に出現する数値や2の冪などの数学的対象の多くはベンフォードの法則に従い、1で始まるものが最多で全体の約30%を占める。
  • 最小のリュカ数である。次は3。また、初項2の後者である。
  • 1 = 1!
    • 最小の階乗数である。次は2。
    • n! が n 桁となる数である。他には 222324 しかない。
  • 級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ は 1 に収束する。
  • 約数の和が1になる数は1個ある (1)。約数の和1個で表せる最小の数である。次は 3
    • 約数の和が奇数になる最小の奇数である。次は3
    • 倍積完全数の約数の和としては最小の数である。次は12
    • 約数の和 n 個で表せる n 番目の数である。次は18
    • 約数の和の個数別の最小でいうと、これも最小にあたる(1個)。次は12(2個)。
  • 連続してある数に対して約数の和を求めていった場合1個の数が1になる。その最小の数。次は4(2個)。いいかえると を満たす n が1個あるということである。(ただし σ は約数関数)(参照オンライン整数列大辞典の数列 A241954)
  • 九九においては、1 の段で 1 × 1 = 1(いんいちがいち)と表し方が 1 通りしかない。九九で表し方が 1 通りのしかない数は他に 25, 49, 64, 81 の5つである。
  • 各位の和が1となるハーシャッド数100までに3個、1000までに4個、10000までに5個ある。
    • 各位の和が1となる数は、全てハーシャッド数。そのような数は、十進法では他に39しかない。
  • 最小のハーシャッド数である。次は2。
    • 1を基とする最小のハーシャッド数である。次は10
    • n を基とする n 番目のハーシャッド数である。次は20
    • 各位の和(数字和)が n となる n 番目の数。次は11
    • 平方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は4
    • 立方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は8
    • 三角数がハーシャッド数になる最小の数である。次は3
    • フィボナッチ数がハーシャッド数になる最小の数である。次は2
  • 各位の積が1になる最小の数である。次は11。(オンライン整数列大辞典の数列 A000042)
  • 最小のカプレカ数(第1定義)。次は9
  • 1の約数の個数は1個になり1の1倍になる。1~n までの約数の個数が n の整数倍になる最小の数である。次は
    乗法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
    1 × x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1,000
    除法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    1/x 1 0.5 0.3 0.25 0.2 0.16 0.142857 0.125 0.1 0.1 0.09 0.083 0.076923 0.0714285 0.06 0.0625
    x/1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    冪乗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
    1x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

抽象代数

抽象代数学では、乗法モノイド単位元1 で表すことがあるが、eドイツ語の Einheit に由来する)で表す方がより伝統的である。整数に限らない一般のにおいて、乗法における単位元を 1 で表し、加法における単位元を 0 で表すことは一般的である。1 を n 回足して 0 になるとき、その環の標数n であるという。通常の整数では 1 を何度繰り返し足しても 0 にはならないため、そのような環の標数は 0 と定める。例えば標数 2 のは、符号理論などに応用を持つ。通常の体の定義は、1 と 0 が等しくないことを要求するので、標数 1 の体は存在しないが、一元体という概念はある。ただし、それは単集合ではない。

その他 1 に関すること